極限
文字・記号・基本式
| 表示 | 記述 | 解説 |
|---|---|---|
| \[a\to 0\] | a \to 0 | 『→』は \to コマンドで記述します。 |
| \[\infty\] | \infty | 無限大を表す記号は \infty です。\infinity ではないので注意して下さい。 |
| \[\lim\] | \lim | 単に lim と記述すると斜体で表示されてしまうので、\lim を使用します |
| \[\lim_{a\to 0}\] | \lim_{a\to 0} | \(\lim\) の基本形です。 |
| \[\varlimsup_{a\to\infty} \] | \varlimsup_{a\to\infty} * | 上極限を表す上線のついた記号は \varlimsup です。 |
| \[\limsup_{a\to\infty} \] | \limsup_{a\to\infty} | 上極限を表す lim sup は \limsup です。 |
| \[\varliminf_{a\to\infty} \] | \varliminf_{a\to\infty} * | 下極限を表す下線のついた記号は \varliminf です。 |
| \[\liminf_{a\to\infty} \] | \liminf_{a\to\infty} | 下極限を表す lim inf は \liminf です。 |
コマンドの組み合わせで表示する記号
| 表示 | 記述 | 解説 |
|---|---|---|
| \[\lim_{x\to 0 \\ y\to 0}f(x,y)\] | \lim_{x\to 0 \\ y\to 0}f(x,y) | 複数の変数の極限を表現するには、改行を表す\\を使用します。 |
| \[\overline{\lim_{x\to\infty}}\] | \overline{\lim_{x\to\infty}} | \varlimsup を使用できない場合は \overline で代用できます。 |
| \[\underset{x\to\infty}{\underline{\lim}}\] | \underset{x\to\infty}{\underline{\lim}}} | \varliminf を使用できない場合は \underline と \underset の組み合わせで代用できます。 |
記述例
極限の公式
ごく基本的な記述例です。
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
\]
全微分可能性
全微分可能性の条件式です。数学の授業で習う時期はまったく違いますが、LaTeX文法上のテクニックとしては前の例とあまり変わりません。
\(\lim\) の中の式は全体としては普通の分数と同じ \frac で、二重の縦線 \(\|\) は \| で記述します。
\lim_{h\to 0}\frac{\|F(p+h)-F(p)-F'(h)\|}{\|h\|}=0\[
\lim_{h\to 0}\frac{\|F(p+h)-F(p)-F'(h)\|}{\|h\|}=0
\]
微分
文字・記号・基本式
| 表示 | 記述 | 解説 |
|---|---|---|
| \[f'(x)\] | f'(x) または f^\prime(x) | 導関数の一般的な記述法（ラグランジュ記法）は、表示のままf'(x)と記述します。\prime は『 ’ 』を表示するコマンドです。 |
| \[f^{\prime\prime}(x)\] | f^{\prime\prime}(x) | MathJaxでは f” と記述すると引用符と解釈されてしまうので、\prime を2つ上付きで記述します。 |
| \[f^{(n)}(x)\] | f^{(n)}(x) | 高階の微分は指数と同じ要領で記述すればよいでしょう。 |
| \[\dot{f}(x)\] | \dot{f}(x) | 関数名の上にドットを記す記述法（ニュートンの記法）は、物理学ではよく使われます。\dot を使用します。 |
| \[\ddot{f}(x)\] | \ddot{f}(x) | ニュートン記法の2階微分は \ddot を使用します。 残念ながら3階以上の微分のコマンドはありません。 |
| \[\frac{d}{dx}f(x)\] | \frac{d}{dx}f(x) | ライプニッツ記法の \(\frac{d}{dx}\) は普通の分数のように \frac コマンドで記述します。 |
| \[\frac{d^2}{dx^2}\] | \frac{d^2}{dx^2} | ライプニッツ記法の2階微分の記述は、通常の分数の分子・分母に指数を付けるのと同じです。 |
| \[\frac{d^n}{dx^n}\] | \frac{d^n}{dx^n} | 3階以上の微分でも要領は同じです。 |
| \[\frac{df}{dx}\] | \frac{df}{dx} | |
| \[\frac{\partial}{\partial x}\] | \frac{\partial}{\partial x} | 偏微分に使う \(\partial\) は \partial コマンドで記述します。 |
| \[ \left. \frac{df}{dx} \right|_{x=a} \] | \left. | \((x=a)\) における微分係数の記述例です。 \left～\right を使用して右側に縦線を引いています。 |
記述例
微分の公式
高校で習うもっとも基本的な微分の式です。\(\Delta\) はギリシャ文字の \Delta です。
\frac{d}{dx}f(x)
=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\[
\frac{d}{dx}f(x)
= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
二階線形常微分方程式
二階線形常微分方程式の一般形です。LaTeXの記述としては分数の足し算とあまり変わりません。
\frac{d^2y(x)}{dx^2}+P(x)\frac{dy(x)}{dx}+Q(x)y=R(x)\[
\frac{d^2y(x)}{dx^2}+P(x)\frac{dy(x)}{dx}+Q(x)y=R(x)
\]
テイラー展開
テイラー展開の一般形です。n階微分の f^{(n)} をいろいろな記号と組み合わせています。
\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
\]
偏微分
偏微分の式です。\(\partial\) は \partial で記述します。
\partial_\alpha f
=\frac{\partial^{|\alpha|}f}
{\partial x_1^{a_1}\partial x_2^{a_2}\cdots\partial x_2^{a_n}}\[
\partial_\alpha f
=\frac{\partial^{|\alpha|}f}
{\partial x_1^{a_1}\partial x_2^{a_2}\cdots\partial x_2^{a_n}}
\]
積分
文字・記号・基本式
| 表示 | 記述 | 解説 |
|---|---|---|
| \[\int f(x)dx\] | \int f(x) dx | 最も基本的な積分の式です。積分記号には \int を使用します。\(dx\) はそのまま dx と記述します。 |
| \[\int_{a}^{b}\] | \int_{a}^{b} | 定積分の範囲は _ や ^ で記述します。一文字の場合は {} を省略して \int_a^b でも同じ結果になります。 |
| \[\oint\] | \oint | 周回積分の記号は \oint です。 |
| \[\underset{\mathrm{T}}{\int}\] | \underset{\mathrm{T}}{\int} | 積分記号の下に文字を入れる場合は \underset コマンドを使用します。 |
| \[\iint \] | \iint * | 重積分の記号は \iint です。 |
| \[\iiint \] | \iiint * | 三重積分の記号は \iiint です。 |
| \[\iiiint \] | \iiiint * | 四重積分の記号は \iiiint です。さすがに五重以上のコマンドはありません。 |
| \[\idotsint\] | \idotsint * | 多重積分の記号は \idotsint です。 |
コマンドの組み合わせで表示する記号
| 表示 | 記述 | 解説 |
|---|---|---|
| \[\int\!\!\!\int \] | \int\!\!\!\int | \iint などが使えない環境では \int を重ねて記述します。単純に \int \int と記述すると隙間が空きすぎるので \! をいくつか入れて調節ます。 |
| \[\int\cdots\int\] | \int\cdots\int | \idotsint が使えない環境では \int と \cdots を組み合わせるといいでしょう。 |
記述例
積分の基本公式
高校レベルの積分の基本公式です。
定積分の範囲を表すには \left～\right による角括弧と上付き文字 ^、下付き文字 _ を使用します。
\int_a^b x^n dx
=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_a^b\[
\int_a^b x^n dx
=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_a^b
\]
重積分
\iint の使用例として、重積分の公式です。AMS-LaTeXが使えない環境ではエラーになります。
\(D:a_1\leq x\leq a_2, b_1\leq y \leq b_2\)について、
\[
\iint_D f(x,y)dxdy
=\int_{b_1}^{b_2}\left\{\int_{a_1}^{a_2}f(x,y)dx\right\}dy
\]\(D=\{(x,y)|a_1\leq x\leq a_2, b_1\leq y \leq b_2\}\)について、
\[
\iint_D f(x,y)dxdy
=\int_{b_1}^{b_2}\left\{\int_{a_1}^{a_2}f(x,y)dx\right\}dy
\]
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